Question

13．已知$\overrightarrow{a}$=（2，-1），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（1，-2）．
（1）若$\overrightarrow{a}$=m$\overrightarrow{b}$+n$\overrightarrow{c}$，求實數(shù)m、n的值；
（2）若（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrowp9vv5xb5$）∥（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$），求|$\overrightarrowp9vv5xb5$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由平面向量的線性運算與坐標表示，列出方程組求出m、n的值；
（2）設(shè)$\overrightarrow d=（x，y）$，根據(jù)平面向量的共線定理求出x、y的關(guān)系，再求|$\overrightarrowp9vv5xb5$|的最小值．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{a}$=（2，-1），$\overrightarrow{b}$=（0，1），$\overrightarrow{c}$=（1，-2）；
且$\overrightarrow{a}$=m$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{n}$$\overrightarrow{c}$，
∴（2，-1）=（n，m-2n），
解得m=3，n=2；…（5分）
（2）設(shè)$\overrightarrow d=（x，y）$，則$\overrightarrow a+\overrightarrow d=（2+x，-1+y）$，
又$\overrightarrow b+\overrightarrow c=（1，-1）$，
由（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrowp9vv5xb5$）∥（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）知，
-（2+x）=-1+y，
即y=-x-1，…（8分）
$|\overrightarrow d|=\sqrt{{x^2}+{y^2}}=\sqrt{{x^2}+{{（-x-1）}^2}}=\sqrt{2{x^2}+2x+1}=\sqrt{2{{（x+\frac{1}{2}）}^2}+\frac{1}{2}}≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
即|$\overrightarrowp9vv5xb5$|的最小值為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（12分）

點評 本題考查了平面向量的線性運算與共線定理的應(yīng)用問題，是綜合性題目．