Question

3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a=3，1+$\frac{tanA}{tanB}=\frac{2c}{b}$，則b+c的最大值為3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由正弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡已知等式可得$\frac{sinC}{cosAsinB}$=$\frac{2sinC}{sinB}$，結合sinC≠0，sinB≠0，可求cosA=$\frac{1}{2}$，由余弦定理可得：b+c=$\sqrt{9+3bc}$，利用基本不等式可求9≥bc，進而可求b+c的最大值．

解答 解：∵1+$\frac{tanA}{tanB}=\frac{2c}{b}$，可得：1+$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}$=$\frac{2sinC}{sinB}$，
∴$\frac{sinC}{cosAsinB}$=$\frac{2sinC}{sinB}$，
∵C，B∈（0，π），sinC≠0，sinB≠0，
∴可得：cosA=$\frac{1}{2}$，
∵a=3，
∴由余弦定理可得：9=b²+c²-bc，
∴9=（b+c）²-3bc，可得：b+c=$\sqrt{9+3bc}$，
又∵9=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc，當且僅當b=c時等號成立，
∴b+c=$\sqrt{9+3bc}$≤$\sqrt{9+9}$=3$\sqrt{2}$，當且僅當b=c時等號成立．
故b+c的最大值為3$\sqrt{2}$．
故答案為：3$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數恒等變換的應用，余弦定理，基本不等式在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．