Question

13．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且accosB-bccosA=3b²．
（1）求$\frac{a}{b}$的值；
（2）若角C為銳角，c=$\sqrt{11}$，sinC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由accosB-bccosA=3b²，利用余弦定理可得$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2}$-$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2}$=3b²，化簡即可得出．
（2）由角C為銳角，sinC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，可得cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$．利用余弦定理可得$（\sqrt{11}）^{2}$=a²+b²-2ab×$\frac{1}{3}$，與a=2b聯立解得b，a，即可得出．

解答 解：（1）∵accosB-bccosA=3b²，
∴$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2}$-$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2}$=3b²，化為：a=2b，因此$\frac{a}{b}$=2．
（2）∵角C為銳角，sinC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，∴cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{1}{3}$．
∴$（\sqrt{11}）^{2}$=a²+b²-2ab×$\frac{1}{3}$，化為：3a²+3b²-2ab=33，又a=2b，
聯立解得b²=3，∴S_△ABC=$\frac{1}{2}ab$sinC=$\frac{1}{2}×2{b}^{2}sinC$=$3×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了余弦定理、同角三角函數基本關系式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．