Question

14．對于使f（x）≤M成立的所有常數M中，我們把M的最小值叫做f（x）的上確界，若正數a，b∈R且a+b=1，則$-\frac{1}{2a}-\frac{2}{b}$的上確界為（　　）

• A． $-\frac{9}{2}$
• B． $\frac{9}{2}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． -4

Answer 1

分析 把要求的式子與所給的條件相乘，整理出能夠使用基本不等式的代數式，利用基本不等式得到函數的最值，得到上確界．

解答 解：正數a，b∈R且a+b=1，
則$-\frac{1}{2a}-\frac{2}{b}$=-（$\frac{1}{2a}$+$\frac{2}{b}$）（a+b）=-（$\frac{1}{2}$+2+$\frac{b}{2a}$+$\frac{2a}{b}$）≤-（$\frac{5}{2}$+2$\sqrt{\frac{b}{2a}•\frac{2a}{b}}$）=-$\frac{9}{2}$，
當且僅當b=2a時即a=$\frac{1}{3}$，b=$\frac{2}{3}$時取等號，
故則$-\frac{1}{2a}-\frac{2}{b}$的上確界為-$\frac{9}{2}$，
故選：A

點評 本題考查基本不等式的應用和新定義問題，本題解題的關鍵是正確寫出函數的最值，注意符號不要出錯．