Question

4．已知函數f（x）=x²e^-ax，其中a＞0．（e是自然對數的底數，e=2.71828…）
（I）求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）求f（x）在[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；
（Ⅱ）通過討論a的范圍，結合函數的單調性求出f（x）的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^-ax（-ax²+2x），
令f′（x）＞0，∵e^-ax＞0，
∴-ax²+2x＞0，解得：0＜x＜$\frac{2}{a}$，
∴f（x）在（-∞，0）和（$\frac{2}{a}$，+∞）內是減函數，在（0，$\frac{2}{a}$）內是增函數．               
（Ⅱ）①當0＜$\frac{2}{a}$＜1，即a＞2時，f（x）在（1，2）內是減函數．
∴在[1，2]上，f（x）_max=f（1）=e^-a；                                              
②當1≤$\frac{2}{a}$≤2，即1≤a≤2時，f（x）在（1，$\frac{2}{a}$）內是增函數，在（$\frac{2}{a}$，2）內是減函數．
∴在[1，2]上，f（x）_max=f（$\frac{2}{a}$）=4a^-2e^-2；                                        
③當$\frac{2}{a}$＞2，即0＜a＜1時，f（x）在（1，2）是增函數．
∴在[1，2]上，f（x）_max=f（2）=4e^-2a，
綜上所述，當0＜a＜1時，f（x）在[1，2]上的最大值為4e^-2a；
當1≤a≤2時，f（x）在[1，2]上的最大值為4a^-2e^-2；
當a＞2時，f（x）在[1，2]上的最大值e^-a．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．