Question

5．在直角坐標系中xOy中，曲線E的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α為參數），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（1）寫出曲線E的普通方程和極坐標方程；
（2）若直線l與曲線E相交于點A、B兩點，且OA⊥OB，求證：$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$為定值，并求出這個定值．

Answer 1

分析 （1）曲線E的參數方程消去參數，能求出曲線E的普通方程，進而能求出曲線E的極坐標方程．
（2）不妨設設點A，B的極坐標分別為A（ρ₁，θ），B（${ρ}_{2}，θ+\frac{π}{2}$），從而得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}=\frac{1}{4}co{s}^{2}θ+\frac{1}{3}si{n}^{2}θ}\\{\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}=\frac{1}{4}si{n}^{2}θ+\frac{1}{3}co{s}^{2}θ}\end{array}\right.$，由此能證明$\frac{1}{|OA{|}^{2}}+\frac{1}{|OB{|}^{2}}=\frac{7}{12}$（定值）．

解答 解：（1）∵曲線E的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=\sqrt{3}sinα}\end{array}\right.$（α為參數），
∴消去參數得曲線E的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∴曲線E的極坐標方程為${ρ}^{2}（\frac{1}{4}co{s}^{2}θ+\frac{1}{3}si{n}^{2}θ）=1$，
∴所求的極坐標方程為3ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=12．
（2）證明：不妨設設點A，B的極坐標分別為A（ρ₁，θ），B（${ρ}_{2}，θ+\frac{π}{2}$），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}（{ρ}_{1}cosθ）^{2}+\frac{1}{3}（{ρ}_{1}sinθ）=1}\\{\frac{1}{4}（{ρ}_{2}cos（θ+\frac{π}{2}））^{2}+\frac{1}{3}（{ρ}_{2}sin（θ+\frac{π}{2}））^{2}=1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}=\frac{1}{4}co{s}^{2}θ+\frac{1}{3}si{n}^{2}θ}\\{\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}=\frac{1}{4}si{n}^{2}θ+\frac{1}{3}co{s}^{2}θ}\end{array}\right.$，
∴$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$=$\frac{7}{12}$，即$\frac{1}{|OA{|}^{2}}+\frac{1}{|OB{|}^{2}}=\frac{7}{12}$（定值）．

點評 本題考查參數方程、普通方程、極坐標方程的互化，考查代數式和為定值的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意普通方程、極坐標方程的互化公式的合理運用．