Question

16．在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）．在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=2$\sqrt{5}$sinθ．
（I）求圓C的直角坐標方程；
（II）設圓C與直線l交于點A、B，若點P的坐標為（3，$\sqrt{5}$），求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （I）由圓的極坐標方程ρ=2$\sqrt{5}$sinθ，可得ρ²=2$\sqrt{5}$ρsinθ，即可求圓C的直角坐標方程；
（II）設A、B點所對應的參數分別為t₁，t₂，把直線l的參數方程代入圓C的方程，利用參數的幾何意義，即可求|PA|+|PB|的值．

解答 解：（I）由圓的極坐標方程ρ=2$\sqrt{5}$sinθ，可得ρ²=2$\sqrt{5}$ρsinθ，?
∴x²+y²=2$\sqrt{5}$y，
∴圓C的直角坐標方程為，x²+y²-2$\sqrt{5}$y=0（5分）
（II）設A、B點所對應的參數分別為t₁，t₂，把直線l的參數方程代入圓C的方程
則t₁，t₂是下面方程的根
（3+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）²+（$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）²-2$\sqrt{5}$（$\sqrt{5}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$t）=0
整理得，t²+3$\sqrt{2}$t+4=0
所以，t₁+t₂=-3$\sqrt{2}$，t₁t₂=4（t₁，t₂同號）
∵直線l過P（3，$\sqrt{5}$）
∴根據t的幾何意義可知|PA|=|t₁|，|PB|=|t₂|
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=3$\sqrt{2}$（10分）

點評 本題考查極坐標方程轉化為直角坐標方程，考查參數方程的運用，考查參數的幾何意義，屬于中檔題．