Question

8．如圖所示，某工廠要設計一個三角形原料，其中AB=$\sqrt{3}$AC．
（1）若BC=2，求△ABC的面積的最大值；
（2）若△ABC的面積為1，問∠BAC=θ為何值時BC取得最小值．

Answer 1

分析 （1）以BC所在的直線為x軸，BC的中垂線為y軸建立直角坐標系，則B（-1，0），C（1，0），設A（x，y），由AB=$\sqrt{3}$AC，可得（x-2）²+y²=3，數形結合可求三角形面積的最大值．
（2）設AB=c，BC=a，AC=b，由已知可求c=$\sqrt{3}b$，利用三角形面積公式可求b²=$\frac{2\sqrt{3}}{3sinθ}$，利用余弦定理可求a²=$\frac{8\sqrt{3}}{3sinθ}$-$\frac{4cosθ}{sinθ}$，令f（θ）=$\frac{8\sqrt{3}}{3sinθ}$-$\frac{4cosθ}{sinθ}$，θ∈（0，π），令f′（θ）=$\frac{-8\sqrt{3}cosθ+12}{3si{n}^{2}θ}$=0，可得：cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，θ=$\frac{π}{6}$，由于f（θ）在（0，$\frac{π}{6}$）上單調遞減，在（$\frac{π}{6}$，π）上單調遞增，從而可求當θ=$\frac{π}{6}$時，BC取最小值．

解答 （本題滿分為14分）
解：（1）以BC所在的直線為x軸，BC的中垂線為y軸建立直角坐標系，則B（-1，0），C（1，0），
設A（x，y），由AB=$\sqrt{3}$AC，可得：（x+1）²+y²=3[（x-1）²+y²]，
化簡可得：（x-2）²+y²=3，
所以A點的軌跡為以（2，0）為圓心，$\sqrt{3}$為半徑的圓，
所以，S_max=$\frac{1}{2}$BC•d=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$…6分
（2），設AB=c，BC=a，AC=b，由AB=$\sqrt{3}$AC，可得：c=$\sqrt{3}b$，
∵S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×^{2}×sinA=1$，
∴b²sinθ=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，b²=$\frac{2\sqrt{3}}{3sinθ}$，
∵a²=b²+c²-2bccosA=4b²-2$\sqrt{3}$b²cosA=$\frac{8\sqrt{3}}{3sinθ}$-$\frac{4cosθ}{sinθ}$，…10分
令f（θ）=$\frac{8\sqrt{3}}{3sinθ}$-$\frac{4cosθ}{sinθ}$，θ∈（0，π），
f′（θ）=-$\frac{8\sqrt{3}cosθ}{3si{n}^{2}θ}$+$\frac{4}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{-8\sqrt{3}cosθ+12}{3si{n}^{2}θ}$，
令f′（θ）=0，可得：cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，θ=$\frac{π}{6}$，…12分
∴f（θ）在（0，$\frac{π}{6}$）上單調遞減，在（$\frac{π}{6}$，π）上單調遞增，
∴當θ=$\frac{π}{6}$時，f（θ）有最小值，即BC最小…14分

點評 本題主要考查了三角形面積公式，余弦定理以及導數的概念及其應用，考查了轉化思想和數形結合思想的應用，屬于中檔題．