Question

13．函數$f（x）=\sqrt{2}sinx（cosx+sinx）-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$在區間$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最小值是-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化簡函數f（x）為正弦型函數，求出x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$時f（x）的最小值．

解答 解：函數$f（x）=\sqrt{2}sinx（cosx+sinx）-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
=$\sqrt{2}$sinxcosx+$\sqrt{2}$sin²x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（1-cos2x）-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{4}$）；
當x∈$[{0，\frac{π}{2}}]$時，2x∈[0，π]，
2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]；
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤1；
當x=0時，f（x）上的最小值是-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，是基礎題．