Question

18．已知A（-2，0），B（2，0）為橢圓C的左、右頂點，F為其右焦點，P是橢圓C上異于A，B的動點，且△APB面積的最大值為2$\sqrt{3}$
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線AP與橢圓在點B處的切線交于點D，當直線AP繞點A轉動時，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據橢圓的特征可得當點P在點（0，b）時，△APB面積的最大，結合題中的條件可得a、b與c的關系進而得到答案．
（2）設點P的坐標為（x₀，y₀），根據題意可設直線AP的方程為y=k（x+2），可得點D與BD中點E的坐標，聯立直線與橢圓的方程得，進而表示出點P的坐標，結合點F坐標為（1，0），再寫出直線PF的方程，根據點E到直線PF的距離等于直徑BD的一半，進而得到答案．

解答 解：（1）根據題意可設橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），右焦點F（c，0）．
根據題意可知：當P位于短軸的頂點時，△APB面積的最大，即$\frac{1}{2}$•2a•b=2$\sqrt{3}$，
由a=2，則b=$\sqrt{3}$，∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）以BD為直徑的圓與直線PF相切．
證明如下：根據題意可設直線AP的方程為y=k（x+2）（k≠0），
則點D坐標為（2，4k），BD中點E的坐標為（2，2k），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
設點P的坐標為P（x₀，y₀），則-2x₀=$\frac{16{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
∴x₀=$\frac{6-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，y₀=k（x₀+2）=$\frac{12k}{3+4{k}^{2}}$，
由點F坐標為（1，0），
當k=±$\frac{1}{2}$時，點P的坐標為（1，±$\frac{3}{2}$），點D的坐標為（2，±2），
直線PF⊥x軸，此時以BD為直徑的圓（x-2）²+（y±1）²=1與直線PF相切．
當k≠±$\frac{1}{2}$時，則直線PF的斜率k_PF=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-1}$=$\frac{4k}{1-4{k}^{2}}$，
∴直線PF的方程為y=$\frac{4k}{1-4{k}^{2}}$（x-1），
點E到直線PF的距離d=$\frac{丨\frac{8k}{1-4{k}^{2}}-2k-\frac{4k}{1-4{k}^{2}}丨}{\sqrt{\frac{16{k}^{2}}{（1-4{k}^{2}）^{2}}+1}}$=$\frac{丨\frac{2k+8{k}^{2}}{1-4{k}^{2}}丨}{\frac{1+4{k}^{2}}{丨1-4{k}^{2}丨}}$=2丨k丨，
又由丨BD丨=4丨k丨，則d=$\frac{1}{2}$丨BD丨，
故以BD為直徑的圓與直線PF相切．
綜上得，當直線AP繞點A轉動時，以BD為直徑的圓與直線PF相切．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查中點坐標公式，點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．