Question

3．在直角坐標系xOy中，以O為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₁的極坐標方程為$ρcos（{θ-\frac{π}{3}}）=1$，P為C₁與x軸的交點，已知曲線C₂的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=-2+sinθ\end{array}\right.$（θ為參數），M，N是曲線C₂上的兩點且對應的參數分別為θ=α，$θ=α+\frac{π}{2}$，其中α∈R．
（Ⅰ）寫出曲線C₁的直角坐標方程；
（Ⅱ）求|PM|²+|PN|²的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）曲線C₁的極坐標方程為$ρcos（{θ-\frac{π}{3}}）=1$，展開為：$ρ（\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=1，利用互化公式可得直角坐標方程．
（II）由方程：x+$\sqrt{3}$y-2=0，可得∴P（2，0）．M（cosα，-2+sinα），N（-sinα，-2+cosα）．利用兩點之間距離公式、同角三角函數基本關系式及其三角函數的單調性即可得出．

解答 解：（I）曲線C₁的極坐標方程為$ρcos（{θ-\frac{π}{3}}）=1$，
展開為：$ρ（\frac{1}{2}cosθ+\frac{\sqrt{3}}{2}sinθ）$=1，
化為直角坐標方程：x+$\sqrt{3}$y-2=0．
（II）由方程：x+$\sqrt{3}$y-2=0，令y=0，解得x=2．
∴P（2，0）．M（cosα，-2+sinα），N（-sinα，-2+cosα）．
∴|PM|²+|PN|²=（cosα-2）²+（sinα-2）²+（sinα+2）²+（cosα-2）²=18-8cosα∈[10，26]．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、兩點之間距離公式、同角三角函數基本關系式及其三角函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．