Question

6．已知平面區域Ω：$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y-18≤0}\\{x≥2}\\{y≥0}\end{array}\right.$夾在兩條斜率為-$\frac{3}{4}$的平行直線之間，且這兩條平行直線間的最短距離為m，若點P（x，y）∈Ω，且mx-y的最小值為p，$\frac{y}{x+m}$的最大值為q，則pq等于$\frac{27}{22}$．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，結合題意求出m，利用線性規劃知識求得p，再由兩點求斜率求出q，則答案可求．

解答 解：由約束條件作出可行域如圖，
∵平面區域Ω夾在兩條斜率為-$\frac{3}{4}$的平行直線之間，且兩條平行直線間的最短距離為m，
則m=$\frac{|3×2-18|}{5}$=$\frac{12}{5}$．
令z=mx-y=$\frac{12}{5}$x-y，則y=$\frac{12}{5}$x-z，
由圖可知，當直線y=$\frac{12}{5}$x-z過B（2，3）時，直線在y軸上的截距最大，z有最小值為p=$\frac{9}{5}$，
$\frac{y}{x+m}$=$\frac{y}{x+\frac{12}{5}}$的幾何意義為可行域內的動點與定點D（-$\frac{12}{5}$，0）連線的斜率，
其最大值q=$\frac{3}{2+\frac{12}{5}}=\frac{15}{22}$．
∴pq=$\frac{9}{5}×\frac{15}{22}=\frac{27}{22}$．
故答案為：$\frac{27}{22}$．

點評 本題考查簡單的線性規劃，考查了數形結合的解題思想方法和數學轉化思想方法，是中檔題．