Question

15．已知函數f（x）=lnx+ax．
（1）若函數f（x）在x=1處的切線方程為y=2x+m，求實數a和m的值；
（2）若函數f（x）在定義域內有兩個不同的零點x₁，x₂，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，利用切線方程，斜率關系，求解a，然后求解m即可．
（2）由（1）知$f'（x）=\frac{1}{x}+a=\frac{1+ax}{x}（x＞0）$．當a≥0時，當a＜0時利用函數的單調性以及函數的極值，轉化求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx+ax，∴$f'（x）=\frac{1}{x}+a$．…（1分）
∵函數f（x）在x=1處的切線方程為y=2x+m，
∴f'（1）=1+a=2，得a=1．…（3分）
又∵f（1）=ln1+a=1，∴函數f（x）在x=1處的切線方程為y-1=2（x-1），即y=2x-1，
∴m=-1．…（6分）
（2）由（1）知$f'（x）=\frac{1}{x}+a=\frac{1+ax}{x}（x＞0）$．
當a≥0時，∵$f'（x）=\frac{1+ax}{x}＞0$，∴函數f（x）=lnx+ax在（0，+∞）上單調遞增，
從而函數f（x）至多有一個零點，不符合題意；…（9分）
當a＜0時，∵$f'（x）=\frac{{a（x+\frac{1}{a}）}}{x}（x＞0）$，
∴函數f（x）在$（0，-\frac{1}{a}）$上單調遞增，在$（-\frac{1}{a}，+∞）$上單調遞減，
∴函數$f{（x）_{max}}=f（-\frac{1}{a}）=ln（-\frac{1}{a}）+a（-\frac{1}{a}）=ln（-\frac{1}{a}）-1$．…（12分）
∴要滿足函數f（x）在定義域內有兩個不同的零點x₁，x₂，必有$f{（x）_{max}}=ln（-\frac{1}{a}）-1＞0$，
得$a＞-\frac{1}{e}$．…（14分）
∴實數a的取值范圍是$（-\frac{1}{e}，0）$．…（15分）

點評 本題考查函數的導數的應用，切線方程以及函數的極值以及函數的單調性的應用，考查轉化思想以及計算能力．