Question

2．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且$cosC=\frac{1}{5}$．
（Ⅰ）求$sin（2C+\frac{π}{4}）$的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=1$，$a+b=\sqrt{37}$，求邊c的值及△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據$cosC=\frac{1}{5}$和sin²C+cos²C=1以及角C的范圍可得sinC，利用二倍角公式，兩角和的正弦定理可得答案．
（Ⅱ）利用平面向量數量積的運算及已知可求ab=5，利用余弦定理可求c的值，再由三角形面積公式可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）∵$cosC=\frac{1}{5}$，
∴由sin²C+cos²C=1，得sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$，sin2C=2sinCcosC=$\frac{4\sqrt{6}}{25}$，cos2C=2cos²C-1=-$\frac{23}{25}$，
則$sin（2C+\frac{π}{4}）$═$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin2C+cos2C）=$\frac{8\sqrt{3}-23\sqrt{2}}{50}$．
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=1$=abcosC，$cosC=\frac{1}{5}$，
∴ab=5．
又∵$a+b=\sqrt{37}$，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=27．
∴c²=a²+b²-2abcosC=25．
則c=5．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\sqrt{6}$．

點評 本題主要考查向量的點乘運算、余弦定理和三角形的面積公式在解三角形中的應用，向量和三角函數的綜合是每年必考題，要給予重視，屬于基礎題．