Question

17．四邊形ABCD中，∠BAC=90°，BD+CD=2，則它的面積最大值等于$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意，當D在BC的正上方時S_△DBC面積最大，A為BC的正下方時S_△ABC面積最大，設BC為2x，可求DH=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，S_{四邊形ABCD}=x²+x$\sqrt{1-{x}^{2}}$，設x=sinθ，則利用三角函數恒等變換的應用化簡可得S_四邊形=$\frac{1}{2}$[1+$\sqrt{2}$sin（2θ-$\frac{π}{4}$）]，利用正弦函數的性質即可求得S_四邊形的最大值．

解答 解：∵∠BAC=90°，BD+CD=2，
∴D在以BC為焦點的橢圓上運動，A在以BC為直徑的圓上運動，
∴當D在BC的正上方時S_△DBC面積最大，A為BC的正下方時S_△ABC面積最大，此時，設BC為2x，則DH=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△BCD+S_ABC=x$•\sqrt{1-{x}^{2}}$+$\frac{1}{2}•2x•x$=x²+x$\sqrt{1-{x}^{2}}$，
設x=sinθ，則$\sqrt{1-{x}^{2}}$=cosθ，
∴S_四邊形=sin²θ+sinθcosθ=$\frac{1}{2}$（2sin²θ+2sinθcosθ）=$\frac{1}{2}$（1-cos2θ+sin2θ）=$\frac{1}{2}$[1+$\sqrt{2}$sin（2θ-$\frac{π}{4}$）]，
∴當sin（2θ-$\frac{π}{4}$）=1時，即θ=$\frac{3π}{8}$時，S_四邊形取得最大值，最大值為：$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查了圓和橢圓的性質，考查了三角函數恒等變換的應用以及正弦函數的性質的綜合應用，考查了運動思想，轉化思想和數形結合思想，屬于中檔題．