Question

12．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左焦點為F，點P為雙曲線右支上的一點，且PF與圓x²+y²=9相切于點N，M為線段PF的中點，O 為坐標原點，則|MN|-|MO|=1．

Answer 1

分析 利用中位線定理可知丨OM丨=$\frac{1}{2}$丨PF₁丨，根據勾股定理求得丨MN丨=丨MF丨-丨NF丨=丨MF丨-2，丨MF丨=$\frac{1}{2}$丨PF丨，則利用雙曲線的定義，即可求出|MN|-|MO|．

解答 解：由題意可知：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1焦點在x軸上，a=3，b=2，c=$\sqrt{13}$，
設雙曲線的右焦點F₁（$\sqrt{13}$，0），左焦點F（-$\sqrt{13}$，0），
由OM為△PFF₁中位線，則丨OM丨=$\frac{1}{2}$丨PF₁丨，
由PF與圓x²+y²=9相切于點N，則△ONF為直角三角形，
∴丨NF丨²=丨OF丨²-丨ON丨²=13-9=4，
則丨NF丨=2，
∴丨MN丨=丨MF丨-丨NF丨=丨MF丨-2，
由丨MF丨=$\frac{1}{2}$丨PF丨，
∴|MN|-|MO|=$\frac{1}{2}$丨PF丨-2-$\frac{1}{2}$丨PF₁丨=$\frac{1}{2}$（丨PF丨-丨PF₁丨）-2=$\frac{1}{2}$×2a-2=1，
∴|MN|-|MO|=1，
故答案為：1．

點評 本題考查雙曲線的定義，考查勾股定理，中位線定理的應用，考查計算能力，屬于中檔題．