Question

3．對于函數y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0，x＞0），其在$（0，\sqrt{a}]$上單調遞減，在$[\sqrt{a}，+∞）$上單調遞增，因為它的圖象類似于著名的體育用品公司耐克的商標，我們給予這個函數一個名稱--“耐克函數”，設某“耐克函數”f（x）的解析式為f（x）=$\frac{{{x^2}+x+a}}{x}$（a＞0，x＞0）．
（1）若a=4，求函數f（x）在區間$[\frac{1}{2}，3]$上的最大值與最小值；
（2）若該函數在區間[1，2]上是單調函數，試求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知中“耐克函數”的單調性，分析函數f（x）在區間$[\frac{1}{2}，3]$上的單調性，進而可得最值；
（2）若該函數在區間[1，2]上是單調函數，則可分為遞增和遞減兩種情況，分類討論可得答案．

解答 解：（1）因為a=4，所以$f（x）=\frac{{{x^2}+x+4}}{x}=x+\frac{4}{x}+1$，
所以該函數在（0，2]上單調遞減，在[2，+∞）上單調遞增，
因為$x∈[\frac{1}{2}，3]$，所以該函數在$[\frac{1}{2}，2]$上單調遞減，在[2，3]上單調遞增．
所以函數f（x）的最小值為f（2）=5
因為$f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}+8+1=\frac{19}{2}$，$f（3）=3+\frac{4}{3}+1=\frac{16}{3}$，
且$\frac{19}{2}＞\frac{16}{3}$，所以函數f（x）的最大值為$\frac{19}{2}$．
（2）因為$f（x）=\frac{{{x^2}+x+a}}{x}=x+\frac{a}{x}+1$，且該函數在區間[1，2]上是單調函數，
①若f（x）在[1，2]上遞增，則$[1，2]⊆[\sqrt{a}，+∞）$，則有$\sqrt{a}≤1$，解得0＜a≤1；
②若f（x）在[1，2]上遞減，則$[1，2]⊆（0，\sqrt{a}]$，則有$\sqrt{a}≥2$，解得a≥4．
綜上，實數a的取值范圍是（0，1]∪[4，+∞）．

點評 本題考查的知識點是函數的最值及其幾何意義，函數的單調性，難度中檔．