Question

2．若0＜x₁＜x₂＜1，則（　�。�

• A． e^x₂-e^x₁＞lnx₂-lnx₁
• B． e^x₂-e^x₁＜lnx₂-lnx₁
• C． x₂e^x₁＞x₁e^x₂
• D． x₂e^x₁＜x₁e^x₂

Answer 1

分析 由題意設f（x）=e^x-lnx和g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，由求導公式和法則分別求出兩個函數的導數，由x的范圍、導數與函數單調性的關系判斷出在（0，1）上的單調性，利用函數的單調性即可得到答案．

解答 解：由題意設f（x）=e^x-lnx，則$f′（x）={e}^{x}-\frac{1}{x}$，
在一個坐標系中畫出y=e^x和$y=\frac{1}{x}$的圖象：
由圖得，當x∈（0，a）時f′（x）＜0，則f（x）遞減，
當x∈（a，1）時f′（x）＞0，則f（x）遞增，
所以函數f（x）在（0，1）上不是單調函數，即A、B不正確；
設g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，則$g′（x）=\frac{{（e}^{x}）′x-x′•{e}^{x}}{{x}^{2}}$=$\frac{（x-1）{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
因為x∈（0，1），所以$\frac{（x-1）{e}^{x}}{{x}^{2}}＜0$，則g′（x）＜0，
即函數g（x）在（0，1）上是減函數，
因為0＜x₁＜x₂＜1，所以g（x₁）＞g（x₂），
則$\frac{{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{1}}＞\frac{{e}^{{x}_{2}}}{{x}_{2}}$，即x₂e^x₁＞x₁e^x₂，即排除D，
故選C，

點評 本題考查求導公式和法則，導數與函數單調性的關系，以及構造法的應用，考查數形結合思想，分析、解決問題和能力．