Question

12．在△ABC中，角A，B，C所對邊分別是a，b，c，若sin（A-B）=$\frac{a}{a+b}$sinAcosB-$\frac{b}{a+b}$sinBcosA．
（1）求證：A=B；
（2）若A=$\frac{7π}{24}$，a=$\sqrt{6}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）sin（A-B）=$\frac{a}{a+b}$sinAcosB-$\frac{b}{a+b}$sinBcosA，展開利用正弦定理可得：acosB-bcosA=$\frac{{a}^{2}}{a+b}$cosB-$\frac{{b}^{2}}{a+b}$cosA，化簡即可證明．
（2）A=B，可得b=a=$\sqrt{6}$．c=2bcosA，可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=3sin$\frac{7π}{12}$=3sin$（\frac{π}{4}+\frac{π}{3}）$，展開即可得出．

解答 （1）證明：∵sin（A-B）=$\frac{a}{a+b}$sinAcosB-$\frac{b}{a+b}$sinBcosA，
∴sinAcosB-cosAsinB=$\frac{a}{a+b}$sinAcosB-$\frac{b}{a+b}$sinBcosA，
利用正弦定理可得：acosB-bcosA=$\frac{{a}^{2}}{a+b}$cosB-$\frac{{b}^{2}}{a+b}$cosA，
化為：cosA=cosB，又A，B∈（0，π），
∴A=B．
（2）解：∵A=B，∴b=a=$\sqrt{6}$．
∴c=2bcosA=2$\sqrt{6}$cos$\frac{7π}{24}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}$×2$\sqrt{6}$cos$\frac{7π}{24}$×sin$\frac{7π}{24}$
=3sin$\frac{7π}{12}$=3sin$（\frac{π}{4}+\frac{π}{3}）$=3$（\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}）$=$\frac{3（\sqrt{2}+\sqrt{6}）}{4}$．

點評 本題考查了正弦定理、倍角公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．