Question

17．如圖，點(diǎn)F₁、F₂是橢圓C₁、C₂的左右焦點(diǎn)，橢圓C₁與雙曲線C₂的漸近線交于點(diǎn)P，PF₁⊥PF₂，橢圓C₁與雙曲線C₂的離心率分別為e₁、e₂，則（　　）

• A． e₂²=$\frac{1+{{e}_{1}}^{4}}{1-{{e}_{1}}^{2}}$
• B． e₂²=$\frac{{2{e}_{1}}^{4}}{1-{{e}_{1}}^{2}}$
• C． e₂²=$\frac{1-{{e}_{1}}^{4}}{2{{e}_{1}}^{2}-1}$
• D． e₂²=$\frac{{{e}_{1}}^{4}}{2{{e}_{1}}^{2}-1}$

Answer 1

分析 設(shè)橢圓及雙曲線方程，由曲線共焦點(diǎn)，則c²+b₁²=a₁²，a₂²+b₂²=c²，求得雙曲線的漸近線方程，代入橢圓方程，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，由直角三角形的性質(zhì)，即可求得丨OP丨=c，利用勾股定理及橢圓及雙曲線的性質(zhì)即可求得答案．

解答 解：設(shè)橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{1}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}_{1}^{2}}=1$，雙曲線的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}_{2}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}_{2}^{2}}=1$，P（x，y），
由題意可知：c²+b₁²=a₁²，a₂²+b₂²=c²，
雙曲線的漸近線方程：y=±$\frac{{b}_{2}}{{a}_{2}}$x，
將漸近線方程代入橢圓方程：解得：x²=$\frac{{a}_{1}^{2}{a}_{2}^{2}{b}_{1}^{2}}{{a}_{2}^{2}{b}_{1}^{2}+{a}_{1}^{2}{b}_{2}^{2}}$，y²=$\frac{{a}_{1}^{2}{b}_{2}^{2}{b}_{1}^{2}}{{a}_{2}^{2}{b}_{1}^{2}+{a}_{1}^{2}{b}_{2}^{2}}$，
由PF₁⊥PF₂，
∴丨OP丨=$\frac{1}{2}$丨F₁F₂丨=c，
∴x²+y²=c²，
代入整理得：a₁⁴+a₂²c²=2a₁²c²，
兩邊同除以c⁴，由橢圓及雙曲線的離心率公式可知：e₁=$\frac{c}{{a}_{1}}$，e₂=$\frac{c}{{a}_{2}}$，
整理得：e₂²=$\frac{{e}_{1}^{4}}{2{e}_{1}^{2}-1}$，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．