Question

7．某樂隊參加一戶外音樂節，準備從3首原創新曲和5首經典歌曲中隨機選擇4首進行演唱．
（1）求該樂隊至少演唱1首原創新曲的概率；
（2）假定演唱一首原創新曲觀眾與樂隊的互動指數為a（a為常數），演唱一首經典歌曲觀眾與樂隊的互動指數為2a，求觀眾與樂隊的互動指數之和X的概率分布及數學期望．

Answer 1

分析 （1）設“該樂隊至少演唱1首原創新曲”的事件為A，則P（A）=1-P$（\overline{A}）$．
（2）由題意可得：X=5a，6a，7a，8a．利用“超幾何分布列”即可得出．

解答 解：（1）設“該樂隊至少演唱1首原創新曲”的事件為A，則P（A）=1-P$（\overline{A}）$=1-$\frac{{∁}_{5}^{4}}{{∁}_{8}^{4}}$=$\frac{13}{14}$．
（2）由題意可得：X=5a，6a，7a，8a．
P（X=5a）=$\frac{{∁}_{3}^{3}{∁}_{5}^{1}}{{∁}_{8}^{4}}$=$\frac{5}{70}$=$\frac{1}{14}$，P（X=6a）=$\frac{{∁}_{3}^{2}{∁}_{5}^{2}}{{∁}_{8}^{4}}$=$\frac{30}{70}$=$\frac{3}{7}$，
P（X=7a）=$\frac{{∁}_{3}^{1}{∁}_{5}^{3}}{{∁}_{8}^{4}}$=$\frac{30}{70}$=$\frac{3}{7}$，P（X=8a）=$\frac{{∁}_{5}^{4}}{{∁}_{8}^{4}}$=$\frac{5}{70}$=$\frac{1}{14}$．

X	5a	6a	7a	8a
P	$\frac{1}{14}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{3}{7}$	$\frac{1}{14}$

E（X）=5a×$\frac{1}{14}$+6a×$\frac{3}{7}$+7a×$\frac{3}{7}$+8a×$\frac{1}{14}$=$\frac{13}{2}$a．

點評 本題考查了“超幾何分布列”的概率計算公式數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．