Question

19．已知定義域為R的函數$f（x）=\frac{{a-{3^x}}}{{{3^x}+1}}$是奇函數．
（1）求a的值；      
（2）證明f（x）在（-∞，+∞）上為減函數；      
（3）若對于任意$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，不等式f（sin2x）+f（2-k）＜0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知可得f（0）=0，求出a值，驗證函數為奇函數即可；
（2）直接利用函數單調性的定義證明f（x）在（-∞，+∞）上為減函數；
（3）由函數的奇偶性與單調性化不等式f（sin2x）+f（2-k）＜0為sin2x＞k-2，求出sin2x的最小值可得k的取值范圍．

解答 （1）解：∵f（x）為R上的奇函數，∴f（0）=0，得a=1，
當a=1時，$f（x）=\frac{1-{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$，滿足$f（-x）=\frac{1-{3}^{-x}}{{3}^{-x}+1}=\frac{\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}}}{\frac{1+{3}^{x}}{{3}^{x}}}$=$-\frac{1-{3}^{x}}{{3}^{x}+1}$=-f（x），
f（x）為奇函數，∴a=1；
（2）證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=\frac{{1-{3^{x_1}}}}{{{3^{x_1}}+1}}-\frac{{1-{3^{x_2}}}}{{{3^{x_2}}+1}}$
=$\frac{{（1-{3^{x_1}}）（{3^{x_2}}+1）-（1-{3^{x_2}}）（{3^{x_1}}+1）}}{{（{3^{x_1}}+1）（{3^{x_2}}+1）}}$=$\frac{{2（{3^{x_2}}-{3^{x_1}}）}}{{（{3^{x_1}}+1）（{3^{x_2}}+1）}}$．
∵x₁＜x₂，∴${3^{x_2}}-{3^{x_1}}＞0$，
又∵$（{3^{x_1}}+1）（{3^{x_2}}+1）＞0$，
∴f（x₁）＞f（x₂），故f（x）為R上的減函數；
（3）解：∵對于任意$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$，不等式f（sin2x）+f（2-k）＜0恒成立，
∴f（sin2x）＜-f（2-k），
∵f（x）為R上的奇函數，∴f（sin2x）＜f（k-2），
又f（x）為R上的減函數，∴$x∈[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$時，sin2x＞k-2恒成立，
設t=2x$（{-\frac{π}{3}≤t≤\frac{2π}{3}}）$，∴sin2x的最小值為$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}＞k-2$，解得$k＜2-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查函數恒成立問題，考查了函數奇偶性的性質，訓練了利用函數的單調性求解函數不等式，是中檔題．