Question

7．設M、N是直線x+y-2=0上的兩動點，且|MN|=$\sqrt{2}$，則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的最小值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{5}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 設M（m，2-m），N（n，2-n），且m＞n，運用兩點的距離公式可得m-n=1，再由向量的數量積的坐標表示，轉化為n的二次函數，配方即可得到所求最小值．

解答 解：設M（m，2-m），N（n，2-n），且m＞n，
由|MN|=$\sqrt{2}$，可得$\sqrt{（m-n）^{2}+（m-n）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
可得m-n=1，即m=1+n，
則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=mn+（2-m）（2-n）=2mn+4-2（m+n）=2n（1+n）+4-2（1+2n）
=2（n²-n+1）=2[（n-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$]≥$\frac{3}{2}$，
當n=$\frac{1}{2}$，m=$\frac{3}{2}$時，可得$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的最小值為$\frac{3}{2}$，
故選：D．

點評 本題考查向量數量積的坐標表示，注意運用轉化思想，運用二次函數的最值求法，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．