Question

7．已知函數f（x）=4cos（$\frac{π}{3}$-ωx）cosωx-1（ω＞0）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）求函數f（x）在[0，2π]上的單調遞增區間．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$．可得周期T=π，從而求出ω，可得函數f（x）的解析式．
（2）將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；利用x在[0，2π]上k取不同的值，可得各段單調遞增區間．

解答 解：（1）函數f（x）=4cos（$\frac{π}{3}$-ωx）cosωx-1（ω＞0）
化簡可得：f（x）=4（cos$\frac{π}{3}$cosωx+sin$\frac{π}{3}$sinωx）cosωx-1
=4（$\frac{1}{2}$cosωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx）cosωx-1
=2cos²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx-1
=$\sqrt{3}$sin2ωx+cos2ωx
=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）
∵函數f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為$\frac{π}{2}$，所以$\frac{2π}{2ω}=π$，即ω=1，
∴f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
（2）由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，（k∈Z）
 可得：$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$
∴函數f（x）的單調增區間為[$kπ-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}+kπ$]，
∵x在[0，2π]上，
當k=0時，得函數f（x）在[0，2π]單調遞增區間為[0，$\frac{π}{6}$]；
當k=1，得函數f（x）在[0，2π]單調遞增區間為[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]；
當k=2，得函數f（x）在[0，2π]單調遞增區間為[$\frac{5π}{3}$，2π]．
故得函數f（x）在[0，2π]上的單調遞增區間為[0，$\frac{π}{6}$]和[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]和[$\frac{5π}{3}$，2π]．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．