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19.如圖所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,點D在邊BC上,AD⊥C1D.
(1)求證:平面ADC1⊥平面BCC1B1
(2)如果點E是B1C1的中點,求證:AE∥平面ADC1

分析 (1)推導出AD⊥C1D,從而CC1⊥平面ABC,進而AD⊥CC1,由此能證明AD⊥平面BCC1B1.即平面ADC1⊥平面BCC1B1
(2)由AD⊥BC,得D是BC中點,連結ED,得四邊形AA1DE是平行四邊形,由此能證明A1E∥平面ADC1

解答 證明:(1)∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,點D在邊BC上,AD⊥C1D,
∴CC1⊥平面ABC,又AD?平面ABC,∴AD⊥CC1
又C1D∩CC1=C1,∴AD⊥平面BCC1B1
AD?面ADC1,∴平面ADC1⊥平面BCC1B1
(2)∵AD⊥平面BCC1B1,∴AD⊥BC,
∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=AC,∴D是BC中點,
連結ED,∵點E是C1B1的中點,
∴AA1∥DE且AA1=DE,∴四邊形AA1DE是平行四邊形,
∴A1E∥AD,
又A1E?面ADC1,AD?平面ADC1
∴A1E∥平面ADC1

點評 本題考查面面垂直的證明,考查線面平行的證明,是中檔題,解題時要認真審題、書寫的規范性,注意空間思維能力的培養.

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