Question

7．如圖，定圓C半徑為2，A為圓C上的一個定點，B為圓C上的動點，若點A，B，C不共線，且|$\overrightarrow{AB}$$-t\overrightarrow{AC}$|$≥|\overrightarrow{BC}$|對任意t∈（0，+∞）恒成立，則 $\overrightarrow{AB}$$•\overrightarrow{AC}$=4．

Answer 1

分析 對|$\overrightarrow{AB}$$-t\overrightarrow{AC}$|≥|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|兩邊平方，并設$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=m，整理可得關于t的一元二次不等式，再由不等式恒成立思想，運用判別式小于等于0，求得m的值．

解答 解：|$\overrightarrow{AB}$$-t\overrightarrow{AC}$|≥|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}$|，
兩邊平方可得，${\overrightarrow{AB}}^{2}$-2t$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+t²${\overrightarrow{AC}}^{2}$≥${\overrightarrow{AB}}^{2}$-2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$，
設$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=m，
則2²t²-2tm-（2²-2m）≥0，
又|$\overrightarrow{AB}$$-t\overrightarrow{AC}$|$≥|\overrightarrow{BC}$|對任意t∈（0，+∞）恒成立，
則判別式△=4m²+4×4（4-2m）≤0，
化簡可得（m-4）²≤0，
由于（m-4）²≥0，則m=4，
即$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4．
故答案為：4．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算，以及不等式恒成立問題，是綜合題．