Question

8．（1）四個(gè)不同球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？
（2）設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號(hào)為1，2，3，4，5的盒子現(xiàn)將這5個(gè)球投入5個(gè)盒子要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的號(hào)碼與盒子號(hào)碼相同，問(wèn)有多少種不同的方法？

Answer 1

分析 （1）本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問(wèn)題，首先選一個(gè)不放球的盒子有4種情況，第二步在放球的3個(gè)盒子中選一個(gè)用來(lái)放兩個(gè)球有3種情況，第三步在四個(gè)球中選2個(gè)放進(jìn)第二步選中的盒子中有C₄²種情況，第四步把剩下的兩個(gè)球放進(jìn)剩下的兩個(gè)盒子里，一個(gè)盒子一個(gè)球有2種情況，得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)，②、剩下3個(gè)球與3個(gè)盒子序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用枚舉法分析可得其放法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，分4步進(jìn)行分析：
①、先選一個(gè)不放球的盒子有4種情況，
②、在放球的3個(gè)盒子中選一個(gè)用來(lái)放兩個(gè)球有3種情況，
③、在四個(gè)球中選2個(gè)放進(jìn)第二步選中的盒子中有C₄²=6種情況，
④、把剩下的兩個(gè)球放進(jìn)剩下的兩個(gè)盒子里，一個(gè)盒子一個(gè)球有2種情況
所以放法總數(shù)為4×3×6×2=144種；
（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：
①、從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有$C_5^2$種，
②、剩下3個(gè)球與3個(gè)盒子序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，
利用枚舉法分析，假設(shè)剩下3，4，5號(hào)球與3，4，5號(hào)盒子，3號(hào)球不能裝入3號(hào)盒子，當(dāng)3號(hào)球裝入4號(hào)盒子時(shí)，4，5號(hào)球只有1種裝法，
3號(hào)球裝入5號(hào)盒子時(shí)，4，5號(hào)球也只有1種裝法，
所以剩下三球只有2種裝法，
故總共裝法數(shù)為$2C_5^2=20$種．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列組合的應(yīng)用，排列問(wèn)題要做到不重不漏，有些題目帶有一定的約束條件，解題時(shí)要先考慮有限制條件的元素．