Question

20．已知函數f（x）=a^x+b^x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．
（Ⅰ）設$a=2，\;b=\frac{1}{2}$，求方程f（x）=2的根；
（Ⅱ）設$a=\frac{1}{3}，\;b≥3$，函數g（x）=f（x）-2，已知b＞3時存在x₀∈（-1，0）使得g（x₀）＜0．若g（x）=0有且只有一個零點，求b的值．

Answer 1

分析 （I）直接解方程即可得出；
（II）對b=3和b＞3分情況討論，利用零點存在性定理判斷零點是否唯一．

解答 解：（Ⅰ）當$a=2，\;b=\frac{1}{2}$時，f（x）=2^x+2^-x=2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$，
令f（x）=2，即2^x+$\frac{1}{{2}^{x}}$=2，∴（2^x）²-2×2^x+1=0，
即（2^x-1）²=0，∴2^x=1，
解得：x=0．
（Ⅱ）（1）當b=3時，g（x）=3^x+$\frac{1}{{3}^{x}}$-2≥2-2=0，
當且僅當$\frac{1}{{3}^{x}}$=3^x即x=0時取等號，
∴x=0是g（x）的唯一的零點，符合題意．
（2）當b＞3時，$g（x）=f（x）-2={（\frac{1}{3}）^x}+{b^x}-2$，
顯然x=0是g（x）的一個零點，
∵當b＞3時存在x₀∈（-1，0）使得g（x₀）＜0，且g（-2）＞0，
∴g（x）在（-2，x₀）必存在另一零點，
此時，g（x）存在2個零點，不符合題意．
綜上可得b=3．

點評 本題考查了函數零點的存在性定理，函數零點的求解，屬于中檔題．