Question

15．大學生趙敏利用寒假參加社會實踐，對機械銷售公司7月份至11月份銷售某種機械配件的銷售量及銷售單價進行了調查，銷售單價x元和銷售量y件之間的一組數據如表所示：

月份	7	8	9	10	11
銷售單價x元	9	9.5	10	10.5	11
銷售量y件	11	10	8	6	5

（1）根據7至11月份的數據，求出y關于x的回歸直線方程；
（2）預計在今后的銷售中，銷售量與銷售單價仍然服從（1）中的關系，若該種機器配件的成本是2.5元/件，那么該配件的銷售單價應定為多少元才能獲得最大利潤？
參考公式：回歸直線方程$\widehat{y}$=b$\widehat{x}$+a，其中b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$．
參考數據：$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=392，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}$=502.5．

Answer 1

分析 （1）計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數，寫出回歸方程；
（2）根據回歸方程，寫出銷售利潤函數W，求出函數W的最大值即可．

解答 解：（1）因為$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（9+9.5+10+10.5+11）=10，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（11+10+8+6+5）=8，
所以回歸系數b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{392-5×10×8}{502.5-5{×10}^{2}}$=-3.2，
則a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=8-（-3.2）×10=40，
于是y關于x的回歸直線方程為$\widehat{y}$=-3.2$\widehat{x}$+40；…（6分）
（2）令銷售利潤為W，則：
W=（x-2.5）（-3.2x+40）=-3.2x²+48x-100，其中（2.5＜x＜12.5）；…（9分）（x沒范圍扣1分）
當x=7.5時，W取得最大值為80；
所以該產品的銷售單價定為7.5元/件時，獲得的利潤最大． …（12分）

點評 本題考查了線性回歸方程的求法與應用問題，是中檔題．