Question

10．已知函數y=f（x）的定義域為（0，+∞），f（8）=3，對任意正數x₁，x₂，都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），猜想y=f（x）的表達式為（　　）

• A． f（x）=2^x
• B． $f（x）=\frac{3}{8}x$
• C． f（x）=log₂x
• D． f（x）=3

Answer 1

分析 對各選項進行驗證得出答案．

解答 解：對于A，f（8）=2⁸≠3，故A不正確；
對于B，f（x₁x₂）=$\frac{3{x}_{1}{x}_{2}}{8}$，而f（x₁）+f（x₂）=$\frac{3{x}_{1}}{8}$+$\frac{3{x}_{2}}{8}$=$\frac{3（{x}_{1}+{x}_{2}）}{8}$，
與對任意正數x₁，x₂，都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），矛盾，故B不正確；
對于C，f（x）的定義域為（0，+∞），f（8）=log₂8=3，
f（x₁x₂）=log₂（x₁x₂），而f（x₁）+f（x₂）=log₂x₁+log₂x₂=log₂（x₁x₂），
∴f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），故C正確；
對于D，f（x₁x₂）=3，f（x₁）+f（x₂）=3+3=6．故D不正確；
故選C．

點評 本題考查了基本初等函數的性質，屬于基礎題．