Question

19．某校高二奧賽班N名學生的物理測評成績（滿分120分）分布直方圖如圖，已知分數在100～110的學生數有21人．
（Ⅰ）求總人數N和分數在110～115分的人數n；
（Ⅱ）現準備從分數在110～115分的n名學生（女生占$\frac{1}{3}$）中任選2人，求其中恰好含有一名女生的概率；
（Ⅲ）為了分析某個學生的學習狀態，對其下一階段的學習提供指導性建議，對他前7次考試的數學成績x（滿分150分），物理成績y進行分析，下面是該生7次考試的成績．

數學	88	83	117	92	108	100	112
物理	94	91	108	96	104	101	106

已知該生的物理成績y與數學成績x是線性相關的，若該生的數學成績達到130分，請你估計他的物理成績大約是多少？
附：對于一組數據（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回歸線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為$\hat β=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{u_i}-\overline u）（{v_i}-\overline v）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{u_i}-\overline u）}^2}}}}，\;\hat α=\overline v-\hat β\overline u$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據頻率、頻數與樣本容量的關系，求出對應的數值；
（Ⅱ）由題意用列舉法計算基本事件數，求所求的概率值；
（Ⅲ）求平均數和回歸系數，寫出線性回歸方程，利用方程求x=130時$\stackrel{∧}{y}$的值．

解答 解：（Ⅰ）分數在100～110內的學生的頻率為
P₁=（0.04+0.03）×5=0.35，…（1分）
 所以該班總人數為$N=\frac{21}{0.35}=60$；…（2分）
分數在110～115內的學生的頻率為
P₂=1-（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1，…（3分）
分數在110～115內的學生的人數為n=60×0.1=6；…（4分）
（Ⅱ）由題意分數在110～115內有6名學生，其中女生有2名，
設男生為A₁，A₂，A₃，A₄，女生為B₁，B₂，
從6名學生中選出2人的基本事件為
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，A₄），（A₁，B₁），（A₁，B₂），
（A₂，A₃），（A₂，A₄），（A₂，B₁），（A₂，B₂），
（A₃，A₄），（A₃，B₁），（A₃，B₂），
（A₄，B₁），（A₄，B₂），（B₁，B₂），共15個；…（6分）
其中恰好含有一名女生的基本事件為
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），
（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂），共8個；…（7分）
所以所求的概率為$P=\frac{8}{15}$；…（8分）
（Ⅲ）計算$\overline x=100+\frac{-12-17+17-8+8+0+12}{7}=100$，
$\overline y=100+\frac{-6-9+8-4+4+1+6}{7}=100$，…（9分）
由于x與y之間具有線性相關關系，根據回歸系數公式得到
$\hat b=\frac{497}{994}=0.5，\hat a=100-0.5×100=50$；…（10分）
所以線性回歸方程為$\hat y=0.5\hat x+50$；…（11分）
當x=130時，計算$\hat y=115$，
所以估計他的物理成績大約是115分． …（12分）

點評 本題考查了頻率分布直方圖與列舉法求古典概型的概率問題，也考查了線性回歸方程的應用問題，是綜合題．