Question

3．已知函數f（x）=lnx-a（x-1），其中a為實數．
（Ⅰ）討論并求出f（x）的極值；
（Ⅱ）若x≥1時，不等式f（x）≤a（x-1）²恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由已知得x＞0，${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}$-a，由此利用導數的性質能求出f（x）的極值．
（Ⅱ）設g（x）=a（x-1）²-f（x）=ax²-ax-lnx，則${g}^{'}（x）=2ax-\frac{1}{x}-a$，由此利用導數性質能求出結果．

解答 解：（Ⅰ）∵函數f（x）=lnx-a（x-1），其中a為實數，
∴x＞0，${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}$-a
∴當a≤0時，${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-a=0$無解，
∴f（x）沒有極值；
當a＞0時，由${f}^{'}（x）=\frac{1}{x}-a=0$得x=$\frac{1}{a}$，
當x∈（0，$\frac{1}{a}$），f′（x）＞0；x∈（$\frac{1}{a}，+∞$），f′（x）＜0，
∴f（x）有極大值$f（\frac{1}{a}）=a-1-lna$，沒有極小值．
（Ⅱ）設g（x）=a（x-1）²-f（x）=ax²-ax-lnx，
則${g}^{'}（x）=2ax-\frac{1}{x}-a$=$\frac{2a{x}^{2}-ax-1}{x}$，
∵x≥1時，不等式f（x）≤a（x-1）²恒成立，
∴x≥1時，a≥1，g′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-ax-1}{x}$≥0，g（x）≥g（1）=0恒成立；
a＜1時，g（x）≥0不恒成立．
綜上可得a的取值范圍時[1，+∞）．

點評 本題綜合考查了導數在解決函數問題中運用，綜合運用解決問題能力，屬于綜合題目，