Question

8．已知函數f（x）=log₂x，x∈（4，8），則函數y=f（x²）+$\frac{8}{f（x）}$的值域為（　　）

• A． [8，10）
• B． （$\frac{26}{3}$，10）
• C． （8，$\frac{26}{3}$）
• D． （$\frac{25}{3}$，10）

Answer 1

分析 構造函數，設log₂x=t，t∈（2，3），則得到y=2t+$\frac{8}{t}$=2（t+$\frac{4}{t}$），利用定義得到函數的單調性，即可求出函數的值域

解答 解：∵f（x）=log₂x，x∈（4，8），
設log₂x=t，t∈（2，3），
∵f（x²）=log₂x²=2log₂x，
∴y=2t+$\frac{8}{t}$=2（t+$\frac{4}{t}$），
設t₁，t₂∈（2，3），且t₁＜t₂，
∴f（t₁）-f（t₂）=2[（t₁+$\frac{4}{{t}_{1}}$）-（t₂+$\frac{4}{{t}_{2}}$）]=2（t₁-t₂）$\frac{{t}_{1}{t}_{2}-4}{{t}_{1}{t}_{2}}$，
∵t₁，t₂∈（2，3），且t₁＜t₂，
∴t₁-t₂＜0，t₁t₂-4＞0，
∴f（t₁）-f（t₂）＜0，
∴函數y=f（t）在（2，3）上為增函數，
∴f（2）＜y＜f（3），
∴8＜y＜$\frac{26}{3}$
∴函數y=f（x²）+$\frac{8}{f（x）}$=2log₂x的值域為（8，$\frac{26}{3}$），
故選C．

點評 本題主要考查函數值域的求解，利用換元法結合對數函數和函數的單調性解決本題的關鍵．