Question

16．已知拋物線x²=2py（p＞0），定點C（0，p），點N是點C關于坐標原點O的對稱點，過定點C（0，p）的直線l交拋物線x²=2py（p＞0）于A，B兩點，設N到直線l是距離為d，則|AB|•d的最小值為$4\sqrt{2}{p}^{2}$．

Answer 1

分析 依題意，點N的坐標為N（0，-p），可設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx+p，與x²=2py聯立消去y得x²-2pkx-2p²=0．然后由韋達定理結合三角形面積公式進行求解．

解答 解：依題意，點N的坐標為N（0，-p），
可設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB的方程為y=kx+p，與x²=2py聯立，
消去y得x²-2pkx-2p²=0．
由韋達定理得x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-2p²．
于是|AB|•d=2S_△ABN=2•$\frac{1}{2}•2p•$|x₁-x₂|=2•$2{p}^{2}\sqrt{{k}^{2}+2}$
∴當k=0時，|AB|•d的最小值為$4\sqrt{2}{p}^{2}$．
故答案為：$4\sqrt{2}{p}^{2}$．

點評 本小題主要考查直線、拋物線等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力．