Question

7．已知橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），F₁，F₂為其左、右焦點，A，B分別為其左、右頂點，若4$\overrightarrow{A{F_1}}$=$\overrightarrow{{F_1}B}$，則該橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 由題意可知：丨$\overrightarrow{A{F_1}}$丨=a-c，丨$\overrightarrow{{F_1}B}$丨=a+c，由4$\overrightarrow{A{F_1}}$=$\overrightarrow{{F_1}B}$，則4（a-c）=a+c，求得a=$\frac{5}{3}$c，橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{5}$．

解答 解：由橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），焦點在x軸上，
由題意可知：丨$\overrightarrow{A{F_1}}$丨=a-c，丨$\overrightarrow{{F_1}B}$丨=a+c，
由4$\overrightarrow{A{F_1}}$=$\overrightarrow{{F_1}B}$，
∴4（a-c）=a+c，
整理得：3a=5c，a=$\frac{5}{3}$c，
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{5}$，
故選：B．

點評 本題考查橢圓標準方程，考查橢圓的簡單幾何性質的應用，考查數形結合思想，屬于基礎題．