Question

2．函數f（x）=（ax²+x-1）e^x（a＜0）．
（1）當a=-1時，若函數y=f（x）與g（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+m的圖象有且只有3個不同的交點，求實數m的值的取值范圍；
（2）討論f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （1）令$h（x）=（-{x^2}+x-1）{e^x}-（\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}）$，求出函數的導數，得到函數的單調性，從而求出m的范圍即可；
（2）求出f（x）的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可．

解答 解：（1）當a=-1時，$f（x）-g（x）=（-{x^2}+x-1）{e^x}-（\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}+m）$，
故$m=（-{x^2}+x-1）{e^x}-（\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}）$．
令$h（x）=（-{x^2}+x-1）{e^x}-（\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}）$，h'（x）=-x（x+1）（e^x+1），
故當x＜-1時，h'（x）＜0；當-1＜x＜0時，h'（x）＞0；
當x＞0時，h'（x）＜0；$h（-1）=-\frac{3}{e}-\frac{1}{6}$，h（0）=-1．
故$-\frac{3}{e}-\frac{1}{6}＜m＜-1$．
（2）由于f（x）=（ax²+x-1）e^x，
∴f'（x）=（2ax+1+ax²+x-1）e^x=$ax（x+\frac{2a+1}{a}）{e^x}$．
當$a=-\frac{1}{2}$時，f'（x）≤0恒成立，∴f（x）在R上單調遞減；
當$a＜-\frac{1}{2}$時，f（x）在$（-∞，-\frac{2a+1}{a}）$上單調遞減，在$（-\frac{2a+1}{a}，0）$上單調遞增，在（0，+∞）上單調遞減；
當$-\frac{1}{2}＜a＜0$時，f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在$（0，-\frac{2a+1}{a}）$上單調遞增，在$（-\frac{2a+1}{a}，+∞）$上單調遞減．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．