Question

1．已知函數f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-1（ω＞0）在x∈[0，π]恰有3個零點，則實數ω取值范圍為（　　）

• A． [$\frac{5}{3}$，$\frac{8}{3}$]
• B． [2，$\frac{8}{3}$）
• C． [$\frac{5}{3}$，2]
• D． [$\frac{5}{3}$，2）

Answer 1

分析 令f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-1=0可解得ωx=2kπ或ωx=2kπ+$\frac{2π}{3}$，從而寫出非負根中較小的有0，$\frac{2π}{3ω}$，$\frac{2π}{ω}$，$\frac{2π}{3ω}$+$\frac{2π}{ω}$；從而可得$\frac{2π}{ω}$≤π且$\frac{2π}{3ω}$+$\frac{2π}{ω}$＞π；從而解得．

解答 解：令f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-1=0得，
sin（ωx+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
則ωx+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或ωx+$\frac{π}{6}$=2kπ+π-$\frac{π}{6}$，k∈Z；
則ωx=2kπ或ωx=2kπ+$\frac{2π}{3}$，
則x=$\frac{2kπ}{ω}$或x=$\frac{2kπ}{ω}$+$\frac{2π}{3ω}$；
則非負根中較小的有：
0，$\frac{2π}{3ω}$，$\frac{2π}{ω}$，$\frac{2π}{3ω}$+$\frac{2π}{ω}$；
則$\frac{2π}{ω}$≤π且$\frac{2π}{3ω}$+$\frac{2π}{ω}$＞π；
故2≤ω＜$\frac{8}{3}$，
故選：B．

點評 本題考查了函數的零點與方程的根的關系應用，同時考查了三角函數的求值應用，屬于中檔題．