Question

9．已知函數f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax．
（1）當a＜0時，討論f（x）的單調性；
（2）若對任意的a∈（-3，-2），x₁，x₂∈[1，3]恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，求出極值點，通過兩個極值點的大小，討論函數的單調性即可．
（2）由（1）知當a∈（-3，-2）時，函數f（x）在區間[1，3]單調遞減；求出x∈[1，3]時，f（x）的最值，問題等價于：對任意的a∈（-3，-2），恒有$（m+ln3）a-2ln3＞1+2a-（2-a）ln3-\frac{1}{3}-6a$成立，推出不等式求解即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{2-a}{x}-\frac{1}{x^2}+2a=\frac{（2x-1）（ax+1）}{x^2}$，
令f'（x）=0，得${x_1}=\frac{1}{2}$，${x_2}=-\frac{1}{a}$，
當a=-2時，f'（x）≤0，函數f（x）在定義域（0，+∞）內單調遞減；
當-2＜a＜0時，在區間$（0，\frac{1}{2}）$，$（-\frac{1}{a}，+∞）$上f'（x）＜0，f（x）單調遞減，
在區間$（\frac{1}{2}，-\frac{1}{a}）$上f'（x）＞0，f（x）單調遞增；
當a＜-2時，在區間$（0，-\frac{1}{a}）$，$（\frac{1}{2}，+∞）$上f'（x）＜0，f（x）單調遞減，
在區間$（-\frac{1}{a}，\frac{1}{2}）$上f'（x）＞0，f（x）單調遞增．
（2）由（1）知當a∈（-3，-2）時，函數f（x）在區間[1，3]單調遞減；
所以當x∈[1，3]時，f（x）_max=f（1）=1+2a，$f{（x）_{min}}=f（3）=（2-a）ln3+\frac{1}{3}+6a$．
問題等價于：對任意的a∈（-3，-2），恒有$（m+ln3）a-2ln3＞1+2a-（2-a）ln3-\frac{1}{3}-6a$成立，
即$am＞\frac{2}{3}-4a$，因為a＜0，所以$m＜{（\frac{2}{3a}-4）_{min}}$，
∴實數m的取值范圍為$（-∞，-\frac{13}{3}]$．

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，考查分類討論思想以及轉化思想的應用，考查分析問題解決問題的能力．