Question

19．函數f（x）=e^x，g（x）=ln（x+m）+1，（e是自然對數的底數，e≈2.71828）．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的圖象在點P（0，f（0））的切線l的方程；
（Ⅱ）若對任意x∈（-m，+∞），恒有f（x）≥g（x）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導，根據導數的幾何意義即可求出切線方程，
（Ⅱ）構造函數，根據導數和函數的最值的關系，即可求出m的取值范圍．

解答 解（Ⅰ）f'（x）=e^x，f'（0）=1，即直線l斜率為k=1，f（0）=1，即點P（0，1）．
所以直線l的方程為y=x+1．
（Ⅱ）容易證明：e^x≥x+1恒成立．
設F（x）=e^x-x-1，則F'（x）=e^x-1，
在區間（-∞，1）上，F'（x）＜0，F（x）是減函數；
在區間（0，+∞）上，F'（x）＞0，F（x）是增函數．
故F（x）的最小值為F（0）=0，
即e^x≥x+1恒成立．
（i）當g（x）=ln（x+m）+1≤x+1恒成立時，即m≤e^x-x恒成立時，條件必然滿足．
設G（x）=e^x-x，則G'（x）=e^x-1，在區間（-∞，1）上，G'（x）＜0，G（x）是減函數，
在區間（0，+∞）上，G'（x）＞0，G（x）是增函數，
即G（x）最小值為G（0）=1．
于是當m≤1時，條件滿足．
（ii）當m＞1時，f（0）=1，g（0）=lnm+1＞1即f（0）＜g（0），條件不滿足．
綜上所述，m的取值范圍為（-∞，1]．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查函數恒成立問題，導數的應用，是一道中檔題．