Question

8．設(shè)△ABC的內(nèi)角為A，B，C，且sinC=sinB+sin（A-B）．
（I）求A的大小；
（II）若a=$\sqrt{7}$，△ABC的面積S_△ABC=$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （I）利用三角形內(nèi)角和定理、和差公式、誘導(dǎo)公式即可得出．
（II）利用余弦定理、三角形面積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（ I）∵A+B+C=π，∴C=π-（A+B）．
∴sinC=sin（A+B）=sinB+sin（A-B），
∴sinA•cosB+cosA•sinB=sinB+sinA•cosB-cosAsinB，
∴2cosA•sinB=sinB，
∴$cosA=\frac{1}{2}$，
∴$A=\frac{π}{3}$．
（ II）依題意得：$\left\{\begin{array}{l}{S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bc•sinA=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}-2bccosA\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}bc=6\\{b^2}+{c^2}=13\end{array}\right.$，
∴（b+c）²=b²+c²+2bc=25，
∴b+c=5，
∴$a+b+c=5+\sqrt{7}$，
∴△ABC的周長(zhǎng)為$5+\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形內(nèi)角和定理、和差公式、誘導(dǎo)公式、余弦定理、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．