Question

13．數列{a_n}中，a₁=1，前n項和是S_n，S_n=2a_n-1，n∈N^*．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求通項公式a_n；
（3）求證：S_nS_n+2＜S_n+1²．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-1，n∈N^*．分別取n=2，3，4，即可得出．
（2）利用遞推關系即可得出．
（3）利用（2），通過作差即可證明．

解答 解：（1）∵a₁=1，S_n=2a_n-1，
∴當n=2時，a₁+a₂=2a₂-1，∴a₂=2
當n=3時，a₁+a₂+a₃=2a₃-1，∴a₃=4
當n=4時，a₁+a₂+a₃+a₄=2a₄-1，∴a₄=8．
（2）∵S_n=2a_n-1，n∈N^*①
∴S_n-1=2a_n-1-1，n≥2，n∈N^*②
①-②得：a_n=2a_n-2a_n-1（n≥2，n∈N^*），即a_n=2a_n-1（n≥2，n∈N^*），
∴數列{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數列，其通項公式${a_n}={2^{n-1}}$．
（3）證明：${S_n}=2{a_n}-1={2^n}-1$，
${S_n}{S_{n+2}}=（{2^n}-1）（{2^{n+2}}-1）={2^{2n+2}}-{2^{n+2}}-{2^n}+1$，
$S_{n+1}^2={（{2^{n+1}}-1）^2}={2^{2n+2}}-{2^{n+2}}+1$，
∴$S_{n+1}^2-{S_n}{S_{n+2}}={2^n}＞0$，∴${S_n}{S_{n+2}}＜S_{n+1}^2$．

點評 本題考查了等比數列的通項公式、數列遞推關系、作差法、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．