Question

3．已知f（x）是定義在（-1，1）上的偶函數，當x∈[0，1）時f（x）=lg$\frac{1}{1+x}$，
（1）求f（x）的解析式；
（2）探求f（x）的單調區間，并證明f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （1）根據f（x）是定義在（-1，1）上的偶函數，當x∈[0，1）時f（x）=lg$\frac{1}{1+x}$，求出x∈（-1，0）時函數的解析式，綜合可得答案；
（2）f（x）在[0，1）上單調遞減，在（-1，0）單調遞增，利用導數法可證得結論．

解答 解：（1）設x∈（-1，0），則-x∈（0，1），
∴f（-x）=lg$\frac{1}{1-x}$，
∵f（x）是定義在（-1，1）上的偶函數，
∴f（x）=f（-x）=lg$\frac{1}{1-x}$，
綜上可得：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}lg\frac{1}{1-x}，x∈（-1，0）\\ lg\frac{1}{1+x}，x∈[0，1）\end{array}\right.$；
（2）f（x）在[0，1）上單調遞減，在（-1，0）單調遞增．證明如下：
∵f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{ln10•（1-x）}，x∈（-1，0）\\ \frac{-1}{ln10•（1+x）}，x∈[0，1）\end{array}\right.$，
當x∈（-1，0）時，f′（x）＞0恒成立，
當x∈[0，1），f′（x）＜0恒成立，
故f（x）在[0，1）上單調遞減，在（-1，0）單調遞增．

點評 本題考查的知識點是利用導數法研究函數的單調性，函數的奇偶性，函數解析式的求法，難度中檔．