Question

18．若x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x+y≤4\\ x-2y≥0\\ x+2y≥4\end{array}$則z=$\frac{y-4}{x}$的取值范圍是（　　）

• A． $（-∞，-\frac{3}{2}]∪[-1，+∞）$
• B． $（-∞，-\frac{5}{2}]∪[-1，+∞）$
• C． $[-\frac{5}{2}，-\frac{3}{2}]$
• D． $[-\frac{3}{2}，-1]$

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區域，利用z的幾何意義結合直線的斜率公式進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應的平面區域，
z=$\frac{y-4}{x}$的幾何意義是區域內的點到定點（0，4）的斜率
由圖象知DB的斜率最大，DA的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y=0}\\{x+2y=4}\end{array}\right.$可得A（2，1），$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{x-2y=0}\end{array}\right.$，
可得B（$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$），
∴z的最大值為z=$\frac{\frac{4}{3}-4}{\frac{8}{3}}$=-1，z的最小值為z=$\frac{1-4}{2}$=-$\frac{3}{2}$，
即，z的取值范圍是[-$\frac{3}{2}$，-1]，
故選：D．

點評 本題主要考查線性規劃的應用，利用直線斜率的幾何意義以及數形結合是解決本題的關鍵．