Question

7．設S表示所有大于-1的實數構成的集合，確定所有的函數：S→S，滿足以下兩個條件：
（1）對于S內的所有x和y，f（x+f（y）+xf（y））=y+f（x）+yf（x）；
（2）在區間-1＜x＜0與x＞0的每一個內，$\frac{f（x）}{x}$是嚴格遞增的．
求滿足上述條件的函數的方程．

Answer 1

分析 令y=x可得f（x+f（x）+xf（x））=x+f（x）+xf（x），令x+f（x）+xf（x）=c，則f（c）=c，代入（1）可得f（2c+c²）=2c+c²．對c的符號進行討論得出c=0即x+f（x）+xf（x）=0，從而得出f（x）的解析式．

解答 解：令y=x得f（x+f（x）+xf（x））=x+f（x）+xf（x），
令x+f（x）+xf（x）=c，則f（c）=c，
帶入（1）得f（2c+c²）=2c+c²．∵2+c＞2+（-1）=1，∴2c+c²=c（2+c）與c同號．
若c＞0，則2c+c²＞c，但$\frac{{f（2c+{c^2}）}}{{2c+{c^2}}}=\frac{f（c）}{c}=1$，與$\frac{f（x）}{x}$在x＞0時嚴格遞增相矛盾，
若c＜0，同樣導出矛盾，
∴c=0，從而對一切x∈S有x+f（x）+xf（x）=0，
∴$f（x）=-\frac{x}{x+1}$．

點評 本題考查了抽象函數的性質的應用，屬于中檔題．