Question

5．已知函數f（x）=lnx+a（1-$\frac{1}{x}$），a∈R．
（1）若a=-1，試求f（x）最小值；
（2）若?x≥1都有f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，利用函數的單調性求解函數的最小值即可．
（2）利用$f（x）=lnx+a（1-\frac{1}{x}）≥0$在x≥1時恒成立，轉化$a•\frac{x-1}{x}≥-lnx⇒a•（x-1）≥-xlnx$．通過當x=1時，當x＞1時，令$g（x）≥-\frac{xlnx}{x-1}（x＞1）$，求出函數的導數，令h（x）=lnx-x+1，利用函數的導數以及函數的單調性求解a的范圍．

解答 解：（1）當a=-1時，$f（x）=lnx+\frac{1}{x}-1$，$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，f（x）在（0，1）單調遞減，在（1，+∞）單調遞增．
∴當x=1時，f（x）_min=f（1）=0．
（2）$f（x）=lnx+a（1-\frac{1}{x}）≥0$在x≥1時恒成立，$a•\frac{x-1}{x}≥-lnx⇒a•（x-1）≥-xlnx$．
當x=1時，a≥0恒成立，∴a∈R．
當x＞1時，$a≥-\frac{xlnx}{x-1}$．
令$g（x）≥-\frac{xlnx}{x-1}（x＞1）$，（xlnx）'=lnx+1，$g'（x）=\frac{-（lnx+1）（x-1）+xlnx}{{{{（x-1）}^2}}}=\frac{lnx-x+1}{{{{（x-1）}^2}}}$．
令h（x）=lnx-x+1，$h'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}＞0$，
∴h（x）在（1，+∞）上單調遞增，h（x）＞h（1）=0．
∴g'（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上單調遞增，g（x）＞g（1）．
由洛必達法則：$\lim_{x→{1^+}}\frac{-xlnx}{x-1}=\lim_{x→{1^+}}（-lnx-1）=-1$．
∴g（x）＜-1，
∴a≥-1，即a∈[-1，+∞）．

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的最值以及函數的導數構造法的應用，考查轉化思想以及分類討論思想的應用．