Question

15．已知函數f（x）=sin（$\frac{π}{2}$-x）sinx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）討論f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]上的單調性，并求出在此區間上的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用誘導公式和輔助角公式將已知函數解析式轉化為正弦函數，根據正弦函數的性質來求最小正周期；
（2）根據自變量的取值范圍來求正弦函數的值域．

解答 解：（1）f（x）=sin（$\frac{π}{2}$-x）sinx-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=cosxsinx+$\frac{\sqrt{3}（1-2co{s}^{2}x）}{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
屬于T=π．
（2）當x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]時，2x-$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{4π}{3}$]，令2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$得x=$\frac{5π}{12}$，
所以f（x）在[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]上單調遞增，f（x）在[$\frac{5π}{12}$，$\frac{5π}{6}$]上單調遞減，
所以f（x）_min=f（$\frac{5π}{6}$）=sin$\frac{4π}{3}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．