Question

6．（理科做）如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，點D是AB的中點．
求證：
（1）AC⊥BC₁；
（2）AC₁∥平面B₁CD．
（3）若AC=BC=$\frac{1}{2}$CC₁，求直線CC₁與平面ABC₁所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）由直三棱柱的性質可得CC₁⊥平面ABC，即CC₁⊥AC，又AC⊥BC，由線面垂直的判定可得AC⊥平面BCC₁B₁，則AC⊥BC₁；
（2）設BC₁與B₁C的交點為O，連結OD，可得OD∥AC₁，由線面平行的判定可得AC₁∥平面B₁CD；
（3）連結C₁D，由CC₁⊥平面ABC，得CC₁⊥AB，再由CD⊥AB，得AB⊥平面C₁CD，可知C₁D是C₁C在平面ABC₁ 上的射影，則∠CC₁D為直線CC₁與平面ABC₁ 所成的角．求解直角三角形得答案．

解答 （1）證明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC₁=C，
∴AC⊥平面BCC₁B₁，
∴AC⊥BC₁；
（2）設BC₁與B₁C的交點為O，連結OD，
∵BCC₁B₁為平行四邊形，∴O為B₁C的中點，又D是AB的中點，
∴OD是三角形ABC₁ 的中位線，則OD∥AC₁，
又∵AC₁?平面B₁CD，OD?平面B₁CD，∴AC₁∥平面B₁CD；
（3）連結C₁D，∵CC₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥AB，
又∵AC=BC，D為AB的中點，
∴CD⊥AB，則AB⊥平面C₁CD，
∴平面ABC₁⊥平面C₁CD，
∴C₁D是C₁C在平面ABC₁ 上的射影，則∠CC₁D為直線CC₁與平面ABC₁ 所成的角．
∵$CD=\frac{\sqrt{2}}{2}AC$，CC₁=2AC，∴$tan∠C{C}_{1}D=\frac{CD}{C{C}_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴直線CC₁與平面ABC₁ 所成的角的正切值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查空間中的直線與直線、直線與平面的位置關系，考查了線面角的求法，是中檔題．