Question

18．已知非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$，|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=3|$\overrightarrow b$|，則cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$-$\overrightarrow a$＞=（　　）

• A． $-\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$

Answer 1

分析 根據題意可得|$\overrightarrow{a}$|=2$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{b}$|，且|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{b}$|，再根據cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$-$\overrightarrow a$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|}$，計算求的結果．

解答 解：非零向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow b$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
∵|$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=3|$\overrightarrow b$|，∴${\overrightarrow{a}}^{2}$+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=9${\overrightarrow{b}}^{2}$，即${\overrightarrow{a}}^{2}$=8${\overrightarrow{b}}^{2}$，
∴|$\overrightarrow{a}$|=2$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{b}$|．
∴|$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$|=3|$\overrightarrow{b}$|，
則cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$-$\overrightarrow a$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}）}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|}$=$\frac{{-\overrightarrow{a}}^{2}}{2\sqrt{2}•|\overrightarrow{b}|•3|\overrightarrow{b}|}$
=$\frac{-{8\overrightarrow{b}}^{2}}{6\sqrt{2}{•|\overrightarrow{b}|}^{2}}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
故選：C．

點評 本題考查向量的夾角公式，考查向量的數量積的性質：斜率的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于中檔題．