Question

10．已知圓M過三點A（0，0），B（1，1），C（4，2），過點D（-1，4）作圓M的兩條切線，兩切點分別為E，F，
（I）  求圓M的方程．
（II） 求切線DE，DF方程
（ III）求直線EF的方程．

Answer 1

分析 （I）設圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入坐標，可得方程組，即可求圓M的方程．
（II）分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求切線DE，DF方程
（III）求出點E，F在以DM為直徑的圓，即可求直線EF的方程．

解答 解：（I） 設圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
則  $\left\{\begin{array}{l}F=0\\ 2+D+E+F=0\\ 20+4D+2E+F=0\end{array}\right.$…（2分）
解得D=-8，E=6，F=0所以圓M的方程是x²+y²-8x+6y=0…（4分）
（II） 圓M的方程是（x-4）²+（y+3）²=25
當切線的斜率不存在時，直線x=-1滿足題意              …（5分）
當切線的斜率存在時，設切線方程為y-4=k（x+1），kx-y+k+4=0
由相切可知$\frac{{|{5k+7}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=5$解得$k=-\frac{12}{35}$，該切線方程為12x+35y-128=0
所以切線DE，DF方程為x=-1和 12x+35y-128=0…（8分）
（III）點E，F在以DM為直徑的圓上，該圓方程為（x+1）（x-4）+（y-4）（y+3）=0
化簡得x²+y²-3x-y-16=0，…（10分）
線段EF是兩圓公共弦x²+y²-3x-y-16=0…①x²+y²-8x+6y=0…②
①-②得5x-7y-16=0，所以直線EF的方程為5x-7y-16=0…（12分）

點評 本題考查直線與圓的方程，考查圓與圓的位置關系，屬于中檔題．