Question

20．已知函數(shù)f（x）滿足2f（1-x）-f（x-1）=x²-5x+2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知a∈R，設(shè)P：M={x|x＜a}，N={x|-1＜x＜1}，且M∪（∁_RN）=R；Q：當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，g（x）=f（x）-ax是單調(diào)函數(shù)，如果滿足P成立的a的集合記為A，滿足Q成立的a的集合記為B，求A∩∁_RB（其中R為全集）

Answer 1

分析 （1）通過換元法求出f（t）和f（-t）的方程組，解出即可；
（2）由題意求集合A、B，再求A∩C_RB即可．

解答 解：（1）令x-1=t，則1-x=-t，x=t+1，
由2f（1-x）-f（x-1）=x²-5x+2，
得：2f（-t）-f（t）=（t+1）²-5（t+1）+2=t²-3t-2，①，
令-t=t，則2f（t）-f（-t）=t²+3t-2，②，
結(jié)合①②解得：f（t）=t²+t-2，
故f（x）=x²+x-2；
（2）∵M(jìn)={x|x＜a}，N={x|-1＜x＜1}，且M∪（∁_RN）=R，
∴a≥1；故A=[1，+∞），
由Q：∵g（x）=x ²+（1-a）x-2
∴$\frac{a-1}{2}$≥2或$\frac{a-1}{2}$≤-2，
∴B={a|a≥5或a≤-3}，C_RB=（-3，5）
∴A∩C_RB=[1，5）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求函數(shù)的解析式問題，考查集合的運(yùn)算，是一道中檔題．